[心得] 一個估計提領率的近似公式

當在討論有多少錢才能退休時， 4% rule 常被提及
不過， 4% rule 是基於 Trinity study
基於美國股債的歷史回報率與30年的固定提領期間
所提出的一個 rule of thumb

如果你的預期提領期間，或對未來報酬率的預期，與 Trinity study 不同
有沒有方法可以估計這個提領率呢?

Milevsky 基於隨機分析(stochastic calculus)提出了一個計算提領率的近似公式:

μ:年化實質報酬率 σ:年化標準差 p:可接受的失敗率 T:中位數餘命

λ = ln(2)/T
α = (2μ+4λ)/(σ^2 + λ)-1
β = (σ^2 + λ)/2

提領率 1/W = GAMMA.INV(p, α, β)
取倒數則得財富倍數 W

GAMMA.INV 是 GAMMA函數的反函數，Excel有提供這個函式，不用自己算。

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帶入一些數字作為實例:
μ = 6% (目前美國抗通膨債報酬率約 2%，Equity Risk Premium 假設為 4%)
σ = 17% (S&P500 年化標準差約 17%)
T = 30 (中位數餘命假設為30年)
p = 10% (假設可接受 10% 失敗率)

λ = ln(2)/30 = 0.0231
α = 3.08
β = 0.0260

提領率 GAMMA.INV( 10%, 3.08, 0.026) = 2.99%
財富倍數 W = 1/(2.99%) = 33.41

按此估計，中位數餘命30年的一個退休者，如將1000萬元全數投入股票
每年提領通膨調整後的 29.9萬，約有 10% 機會在死前花光財產

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如果改用 50% 股票比重的 portfolio
令 μ = 4% ，σ = 8.5%，T = 30，p = 10%
提領率則可上升到 3.35%

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也可以反過來，根據提領率估計失敗率
Excel公式是 GAMMA.DIST(1/W, α,β, TRUE)

以 4% 提領率來說，如果沿用以上50%股票比重的設定
失敗率的估計是 GAMMA.DIST( 4%, 4.68, 0.0152, TRUE) = 16.47%

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Reference:
Milevsky, Moshe & Robinson, Chris. (2005). A Sustainable Spending Rate
without Simulation. Financial Analysts Journal - FINANC ANAL J. 61. 89-100.
10.2469/faj.v61.n6.2776.

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