: 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差?
: ===
: 考慮某投資，假設其年報酬率為獨立同分佈，且服從對數常態分佈。
: (這裡假設了分佈的型態，但並不對μ跟σ做估計。)
: 問: 該投資未來三十年的累積報酬率，低於過去一百年間的 30-year rolling return
: 之最小值的機率有多少?
: 這個問題也許有解析解，但我數學不太好，就直接用蒙地卡羅法模擬看看。
: 我模擬的結果是大約 12%。
: ===
: 這裡的前提，「獨立同分佈+對數常態分佈」是非常強的假設
: 這個模擬的結果，不見得能適用於現實
: 但「過去100年的 30-year rolling return」雖然看似足足有71組數字
: 對於從中得到的一些觀察
: 或許可以再思考看看要給予多少信心
小弟剛好對這頗有興趣
以下是一點拙見：
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1. 為什麼股價是對數常態，而不是常態分佈？
常態分佈的數值本身沒有上下限
可以說，負無限和正無限都有機率發生(當然機率很小很小)
但這對股價來說是不對的，因為股價都是正值、最小值就是0
用對數常態來描述股價就能解決這個問題
對數常態另一個重要理由就是數學好描述
實際上，真實股價比對數常態分佈有更多極值(大漲大跌)出現
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2. 報酬是常態分布嗎？
這其實對了一半
在股價是對數常態分佈的假設下(其實誰是因誰是果有點難說)
對報酬 x 而言
正確解答是他的對數 ln(1+x) 是常態分布
但當x不太大的時候，ln(1+x) 近似 x
所以報酬x不大的話(1%、2%之類的)，可以說報酬近似於常態分布
但報酬很大的時候(-50%)，這個近似就不成立、報酬就不是常態分布
這也可以從報酬有最小值(-100%)看出來報酬不完全是常態分布
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3. 回到原po的問題
"下一個 30-year rolling return 比前100年的最差的30-year rolling return 還差的機率是多少"
首先，前100年的最差30-year rolling return
我的理解是
前100年當中、任一個連續30年的return
因此如原po所說，有71個不同的連續30年(1-30年，一直到71-100)
如原po所說，這個解析解似乎相當困難
但有個方便粗略估計的方法
就是這100年中，有至少3個不重疊、也就是互相獨立的30年
這問題可以簡化成像是，擲完3次骰子，再擲一次會比前3次都小的機率
(骰子可能不是很好的例子，因為會有相同數值的時候...)
那這個的解是25% (並且這與是什麼分佈完全無關)
這當然是個會高估的粗估，因為還少算過去100年裡的一個10年
然後還有其他71-3=68個有重疊、不完全獨立的30年
如原po所說，更準確的解大概就只能靠蒙地卡羅了
我也得到跟原po一樣的數字、11.9 +/- 0.1 %
與mu和sigma無關
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以上一點淺見
感謝daze大分享如此有趣的問題 :)
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